解答题
25.设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．
证明：
(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0；
(2)存在ξ∈(0，3)，使得f''(ξ)=2f'(ξ)=0．
证明：
(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0；
(2)存在ξ∈(0，3)，使得f''(ξ)=2f'(ξ)=0．
【正确答案】(1)令F(x)=∫0xf(t)dt，F'(x)=f(x)，
∫02f(t)dt=F(2)-F(0)=F'(c)(2-0)=2f(c)，其中0＜c＜2．
因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，
由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=
，即f(2)+f(3)=2f(x0)，
于是f(0)=f(c)=f(x0)，
由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)
(0，3)，ξ2∈(c，x)
(0，3)，使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0．
(2)令φ(x)=e-2xf'(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
∫02f(t)dt=F(2)-F(0)=F'(c)(2-0)=2f(c)，其中0＜c＜2．
因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，
由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得f(x0)=
，即f(2)+f(3)=2f(x0)，于是f(0)=f(c)=f(x0)，
由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)
(0，3)，ξ2∈(c，x)(0，3)，使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0．(2)令φ(x)=e-2xf'(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】