问答题
设f(x)在[1，+∞)上有连续的二阶导数，f(1)=0，f"(1)=1．且二元函数z=(x
2
+y
2
)f(x
2
+y
2
)满足
【正确答案】
【答案解析】[解]
同理，
由已知
得
4f+12(x 2 +y 2 )f"+4(x 2 +y 2 ) 2 f"=0，
令x 2 +y 2 =u，得
u 2 f"(u)+3uf"(u)+f(u)=0，(欧拉方程)(*)
令u=e t (指数变换!)
代入式(*)得
(二阶常系数线性齐次微分方程)
特征方程：r 2 +2r+1=0，
r 1 =r 2 =-1(重根)，
通解为f=(C 1 +C 2 t)e -t ，
∴
由f(1)=0，得C 1 =0；由f"(1)=1，得C 2 =1．
∴
u∈[1，+∞)，
x∈[1，+∞)．
得驻点x=e，
∴
同理，
由已知
得
4f+12(x 2 +y 2 )f"+4(x 2 +y 2 ) 2 f"=0，
令x 2 +y 2 =u，得
u 2 f"(u)+3uf"(u)+f(u)=0，(欧拉方程)(*)
令u=e t (指数变换!)
代入式(*)得
(二阶常系数线性齐次微分方程)
特征方程：r 2 +2r+1=0，
r 1 =r 2 =-1(重根)，
通解为f=(C 1 +C 2 t)e -t ，
∴
由f(1)=0，得C 1 =0；由f"(1)=1，得C 2 =1．
∴
u∈[1，+∞)，
x∈[1，+∞)．
得驻点x=e，
| (1，e) | e | (e，+∞) | |||||||||||||||||||||
| f(x) | + | 0 | - | ||||||||||||||||||||
| f"(x) | ↗ | 大 | ↘ | ||||||||||||||||||||