问答题
设二次型
问答题
计算a的值；
【正确答案】
【答案解析】解：二次型的矩阵为
，则二次型的正、负惯性指数都是1，可知r(A)=2，
，则二次型的正、负惯性指数都是1，可知r(A)=2，
问答题
用正交变换将二次型化为标准形；
【正确答案】
【答案解析】此时|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3)，所以A的特征值是3，-3，0．
当λ 1 =3时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为α 1 =(1，0，1) T ；
当λ 2 =-3时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为α 2 =(1，-2，-1) T ；
当λ 3 =0时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为α 3 =(1，1，-1) T ．
将α 1 ，α 2 ，α 3 单位化，得
故有正交阵
因此所求的正交变换为
所求的标准形为
当λ 1 =3时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为α 1 =(1，0，1) T ；
当λ 2 =-3时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为α 2 =(1，-2，-1) T ；
当λ 3 =0时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为α 3 =(1，1，-1) T ．
将α 1 ，α 2 ，α 3 单位化，得
故有正交阵
因此所求的正交变换为
所求的标准形为
问答题
当x满足x
T
x=2时，求f的最大值与最小值．
【正确答案】
【答案解析】由于x=Qy，可知x
T
x=(Qy)
T
Qy=y
T
q
T
Qy=y
T
y．
因此限制条件x T x=2也等价于
由于二次型为
，易知其在
因此限制条件x T x=2也等价于
由于二次型为
，易知其在