解答题
18.设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫01xf'(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f'(ξ)=4．
【正确答案】由分部积分，得
∫01xf'(x)dx=xf(x)｜01－∫01f(x)dx=－∫01f(x)dx=2，
于是∫01f(x)dx=－2．
由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)－f(1)=f'(η)(x－1)，其中η∈(x，1)，
f(x)=f'(η)(x－1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01f'(η)(x－1)dx=－2．
因为f'(x)在[0，1]上连续，所以f'(x)在[0．1]上取到最小值m和最大值M，
由M(x－1)≤f'(η)(x－1)≤m(x－1)两边对x从0到1积分，
得
≤∫01f'(η)(x－1)dx≤
∫01xf'(x)dx=xf(x)｜01－∫01f(x)dx=－∫01f(x)dx=2，
于是∫01f(x)dx=－2．
由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)－f(1)=f'(η)(x－1)，其中η∈(x，1)，
f(x)=f'(η)(x－1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01f'(η)(x－1)dx=－2．
因为f'(x)在[0，1]上连续，所以f'(x)在[0．1]上取到最小值m和最大值M，
由M(x－1)≤f'(η)(x－1)≤m(x－1)两边对x从0到1积分，
得
≤∫01f'(η)(x－1)dx≤【答案解析】