解答题
9.设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证：
∫abf(x)dx=
(b－a)[f(a)+f(b)]+
∫abf(x)dx=
(b－a)[f(a)+f(b)]+
【正确答案】连续利用分部积分有
∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x－b)=f(a)(b－a)－∫abf'(x)(x－b)d(x－a)
=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)d[f'(x)(x－b)
=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)df(x)+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx
=f(a)(b－a)+f(b)(b－a)－∫abf(x)dx+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．
移项后得 ∫abf(x)dx=
(b－a)[f(a)+f(b)]+
∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x－b)=f(a)(b－a)－∫abf'(x)(x－b)d(x－a)
=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)d[f'(x)(x－b)
=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)df(x)+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx
=f(a)(b－a)+f(b)(b－a)－∫abf(x)dx+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．
移项后得 ∫abf(x)dx=
(b－a)[f(a)+f(b)]+【答案解析】