问答题
若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f″(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
问答题
f(x)＞0(x∈(0，1))．
【正确答案】正确答案：
由题设条件及罗尔定理，
a∈(0，1)，f′(a)=0．由f″(x)＜0(x∈(0， 1))→f′(x)在(0，1)↘
由题设条件及罗尔定理，a∈(0，1)，f′(a)=0．由f″(x)＜0(x∈(0， 1))→f′(x)在(0，1)↘【答案解析】
问答题
自然数n，存在唯一的x
n
∈(0，1)，使得f′(x
n
)=
自然数n，存在唯一的x
n
∈(0，1)，使得f′(x
n
)=
【正确答案】正确答案：由题设知存在x
M
∈(0，1)使得f(x
M
)=M＞0． 方法： 先证
是f′(x)的某一中间值．因f′(x
M
)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ
n
∈(0，x
M
)使得
这里f′(x)在[ξ
n
，x
M
]连续，再由连续函数中间值定理→存在x
n
∈(ξ
n
，x
M
)
(0，1)，使得f′(x
n
)=
最后再证唯一性．由f″(x)＜0(x∈(0，1))→f′(x)在(0，1)单调减少→在区间(0，1)内f′(x)=
是f′(x)的某一中间值．因f′(x
M
)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ
n
∈(0，x
M
)使得
这里f′(x)在[ξ
n
，x
M
]连续，再由连续函数中间值定理→存在x
n
∈(ξ
n
，x
M
)
(0，1)，使得f′(x
n
)=
最后再证唯一性．由f″(x)＜0(x∈(0，1))→f′(x)在(0，1)单调减少→在区间(0，1)内f′(x)=
【答案解析】