（2006年真题）如图4．11所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，它在[0，2]上的图形为分段直线，g(x)是线性函数，则∫
0
π
f(g(x))dx=[ ]。
【正确答案】
B
【答案解析】解析：本题考查定积分的几何意义，定积分换元法及周期函数的定积分性质。先求g(x)的表达式，由图形可知，线性函数g(x)的斜率为
=3，因此g(x)=3x+1，g"(x)=3。在∫
0
2
(g(x))dx中令g(x)=0，则当t=0时t=1；t=2时t=7，且g"(x)dx=dt,于是∫
0
2
f(g(x))dx=
∫
1
7
f(t)dt。由于函数f(x)是以2为周期的连续函数，所以它在每一个周期上的积分相等，因此∫
0
1
f(t)dt=3∫
0
2
f(t)dt。根据定积分的几何意义，∫
0
2
f(t)dt=
×2×1=1。从而∫
0
2
f(g(x))dx=
∫
1
7
f(t)dt=
=3，因此g(x)=3x+1，g"(x)=3。在∫
0
2
(g(x))dx中令g(x)=0，则当t=0时t=1；t=2时t=7，且g"(x)dx=dt,于是∫
0
2
f(g(x))dx=
∫
1
7
f(t)dt。由于函数f(x)是以2为周期的连续函数，所以它在每一个周期上的积分相等，因此∫
0
1
f(t)dt=3∫
0
2
f(t)dt。根据定积分的几何意义，∫
0
2
f(t)dt=
×2×1=1。从而∫
0
2
f(g(x))dx=
∫
1
7
f(t)dt=