问答题
设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f'(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0．试证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
【正确答案】正确答案：方法一 用拉格朗日中值定理． 当a=0时，等号成立． 当a＞0时，因f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以存在ξ
1
∈(0，a)， ξ
0
∈(b，a+b)，ξ
1
＜ξ
2
，使得 |f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]=af'(ξ
2
)一af'(ξ
1
)． 因为f'(x)在(0，c)内单调递减，所以f'(ξ
2
)≤f'(ξ
1
)，于是 [f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]≤0， 即f(a+b)≤f(a)+f(b)． 方法二 用函数的单调性． 将f(a+b)一f(b)一f(a)中的b改写为x，构造辅助函数 F(x)=f(a+x)一f(x)一f(a)，x∈[0，b]， 显然F(0)=0，又因为f'(x)在(0，c)内单调递减，所以 F'(x)=f'(a+x)一f'(x)≤0， 于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)一f(b)一f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．
【答案解析】