解答题
14.已知四阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，且α1=2α2－α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．
【正确答案】解一 因α2，α3，α4线性无关及α1=2α2－α3=2α2－α3+0α4，故秩([α1，α2，α3，α4])=秩(A)=3．于是AX=0的一个基础解系只包含一个解向量，将AX=0及AX=β分别写成列向量组的形式，即
x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0， ①
x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β． ②
今已知 α1—2α2+α3=α1—2α2+α3+0α4=0， ③
将式③与式①比较知，齐次方程组①的一个解向量为α=[1，－2，1，0]T．
又将α1+α2+α3+α4=β与方程组②比较知，方程组②的一个特解为η=[1，1，1，1]T，故AX=β的通解为
kα+η=k[1，－2，1，0]T+[1，1，1，1，1] (k为任意常数)．
解二 令X=[x1，x2，x3，x4]T，则由AX=[α1，α2，α3，α4][x1，x2，x3，x4]T=β得到
x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β=α1+α2+α3+α4．
将α1=2α2－α3代入上式整理后，得到
(2x1+x2－3)α2+(－x1+x3)α3+(x4－1)α4=0．
因α2，α3，α4线性无关，故
因
x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0， ①
x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β． ②
今已知 α1—2α2+α3=α1—2α2+α3+0α4=0， ③
将式③与式①比较知，齐次方程组①的一个解向量为α=[1，－2，1，0]T．
又将α1+α2+α3+α4=β与方程组②比较知，方程组②的一个特解为η=[1，1，1，1]T，故AX=β的通解为
kα+η=k[1，－2，1，0]T+[1，1，1，1，1] (k为任意常数)．
解二 令X=[x1，x2，x3，x4]T，则由AX=[α1，α2，α3，α4][x1，x2，x3，x4]T=β得到
x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β=α1+α2+α3+α4．
将α1=2α2－α3代入上式整理后，得到
(2x1+x2－3)α2+(－x1+x3)α3+(x4－1)α4=0．
因α2，α3，α4线性无关，故
因
【答案解析】