解答题
14.设f(x)在[1,+∞)内可导，f'(x)＜0且
=a﹥0,令an=
.证明：{an}收敛且0≤
=a﹥0,令an=.证明：{an}收敛且0≤
【正确答案】因为f'(x)＜0,所以f(x）单调减少。又因为an+1-an=f(n+1)-
f(x)dx=f(n+1)-f(ε)≤0(ε∈[n,n+1],
所以an单调减少。
因为
[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1,2,...,n-1)
且
=a＞0,所以存在X＞0，当x＞X时，f(X)＞0.
由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1,+∞)）时，故an≥f(n)＞0,所以
存在。
f(x)dx=f(n+1)-f(ε)≤0(ε∈[n,n+1],所以an单调减少。
因为
[f(k)-f(x)]dx≥0(k=1,2,...,n-1)且
=a＞0,所以存在X＞0，当x＞X时，f(X)＞0.由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1,+∞)）时，故an≥f(n)＞0,所以
存在。【答案解析】