解答题
12.设f(z)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且
f(x)＝a＞0，令an＝
f(k)－
｜f(x)dx．证明：{an}收敛且0≤
f(x)＝a＞0，令an＝f(k)－｜f(x)dx．证明：{an}收敛且0≤
【正确答案】因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．
又因为an＋1－an＝f(n＋1)－
f(x)dx＝f(n＋1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1])，所以{an}单调减少．
因为an＝
[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而
[f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1)且
f(x)＝a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．
由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以
an存在．
因为an＝f(1)＋[f(2)－
f(x)dx]＋…＋[f(n)－
f(x)dx]，
因为an＝f(1)＋[f(2)－
f(x)dx]＋…＋[f(n)－
f(x)dx]，
而f(k)－
f(x)dx≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤
又因为an＋1－an＝f(n＋1)－
f(x)dx＝f(n＋1)－f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1])，所以{an}单调减少．因为an＝
[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而[f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1)且f(x)＝a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以
an存在．因为an＝f(1)＋[f(2)－
f(x)dx]＋…＋[f(n)－f(x)dx]，因为an＝f(1)＋[f(2)－
f(x)dx]＋…＋[f(n)－f(x)dx]，而f(k)－
f(x)dx≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤【答案解析】