单选题
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的
A．充分必要条件． B．充分而非必要条件．
C．必要而非充分条件． D．既不充分也不必要条件．
A．充分必要条件． B．充分而非必要条件．
C．必要而非充分条件． D．既不充分也不必要条件．
【正确答案】
A
【答案解析】[解析] 若
，则有可逆矩阵P使P-1AP＝Λ或AP=PAΛ
令P=[γ1，γ2，…γn]，即有
A[γ1，γ2，…γn]=[γ1，γ2，…γn]
=[a1γ1，a2γ2，…，anγn]
从而有Aγi=aiγi i-1，2，…，n
由P可逆，有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．按定义知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．
反之，若A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn，满足
Aαi=λiαi，i=1，2，…，n
那么，用分块矩阵有
A[α1，α2，…，αn]=[α1，α2，…，αn]
，则有可逆矩阵P使P-1AP＝Λ或AP=PAΛ令P=[γ1，γ2，…γn]，即有
A[γ1，γ2，…γn]=[γ1，γ2，…γn]
=[a1γ1，a2γ2，…，anγn]从而有Aγi=aiγi i-1，2，…，n
由P可逆，有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．按定义知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．
反之，若A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn，满足
Aαi=λiαi，i=1，2，…，n
那么，用分块矩阵有
A[α1，α2，…，αn]=[α1，α2，…，αn]