问答题
设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的，即U=x
α
y
β
，商品x和商品y的价格分别为P
x
和P
y
，消费者的收入为M，α和β为常数，且α+β=1
(1)求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。
(2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两种商品的需求关系维持不变。
(3)证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。
【正确答案】正确答案：(1)由消费者的效用函数U=x
α
x
β
，算得 MU
x
=
αx
α-1
y
β
MU
y
=
αx
α
y
β-1
消费者的预算约束方程为P
x
+P
y
=M ① 根据消费者效用最大化的均衡条件
解方程组③，可得 x=αM／P
x
④ y=βM／P
y
⑤ 式④即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。 上述需求函数的图形如图3—31所示。
(2)商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为 λP
x
x+λP
y
y=λM ⑥ 其中λ为一个非零常数。 此时消费者效用最大化的均衡条件变为
λP
x
x+λP
y
y=λM 由于，故方程组(7)化为
αx
α-1
y
β
MU
y
=
αx
α
y
β-1
消费者的预算约束方程为P
x
+P
y
=M ① 根据消费者效用最大化的均衡条件
解方程组③，可得 x=αM／P
x
④ y=βM／P
y
⑤ 式④即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。 上述需求函数的图形如图3—31所示。
(2)商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为 λP
x
x+λP
y
y=λM ⑥ 其中λ为一个非零常数。 此时消费者效用最大化的均衡条件变为
λP
x
x+λP
y
y=λM 由于，故方程组(7)化为
【答案解析】