解答题
1.
设f(x)在[0，1]上连续，且∫
0
1
f(x)dx=A，求∫
0
1
[∫
x
1
f(t)dt+(1－x)f(x)dx．
【正确答案】
令φ(x)=∫
x
1
f(t)dt，则φ'(x)=一f(x)， φ(0)=∫
0
1
f(t)dt=A．于是，原式=∫
0
1
[φ(x)+(x一1)φ'(x)]dx
=∫
0
1
[(x一1)φ(x)]'dx
=(x一1)φ(x)｜
0
1
=φ(0)
=A．
【答案解析】
本题也可分项计算．
原式=∫
0
1
φ(x)dx+∫
0
1
(x一1)φ'(x)dx
=∫
0
1
φ(x)dx+(x一1)φ(x)｜
0
1
－ ∫
0
1
φ(x)dx
=(x一1)φ(x)｜
0
1
=φ(0)
=A．
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