解答题
设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．
问答题
19.证明：β，Aβ，A2β线性无关；
【正确答案】设 k1β+k2Aβ+k3A2β， ①
由题设Aαi=λiαi(i=1，2，3)，于是
Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，
代入①式整理得
因为α1，α2，α3是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有
其系数行列式
由题设Aαi=λiαi(i=1，2，3)，于是
Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，
代入①式整理得
因为α1，α2，α3是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有
其系数行列式
【答案解析】
问答题
20.若A3β=Aβ，求秩r(A-E)行列式｜A+2E｜
【正确答案】由A3β=Aβ有
A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β]
令P=[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且
A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β]
令P=[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且
【答案解析】