解答题
[2005年] 已知二次型
f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1，x2的秩为2．
f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1，x2的秩为2．
问答题
8.求a的值；
【正确答案】由二次型矩阵的秩为2及其行列式等于0易求得a．按用正交变换化二次型为标准形．用正交变换X=QY，或用配方法可求得f(x1，x2，x3)=0的解．
a=0．这是因为二次型f的秩为2，其矩阵A的秩也为2，有
∣A∣=
a=0．这是因为二次型f的秩为2，其矩阵A的秩也为2，有
∣A∣=
【答案解析】
问答题
9.求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
【正确答案】由A=
得到其特征方程为
∣λE—A∣=
=λ(λ一2)2=0，
因而其特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．解(λE—A)X=0．由
λ1E一A=
知，属于λ1=λ2=2的特征向量为α1=[1，1，0]T，α2=[0，0，l]T．解(λ3E—A)X=0．由
λ3E一A=
得到其特征方程为∣λE—A∣=
=λ(λ一2)2=0，因而其特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．解(λE—A)X=0．由
λ1E一A=
知，属于λ1=λ2=2的特征向量为α1=[1，1，0]T，α2=[0，0，l]T．解(λ3E—A)X=0．由
λ3E一A=
【答案解析】
问答题
10.求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
【正确答案】解一 令f(x1，x2，x3)=2y12+2y22=0得到y1=y2=0，y3=k．于是所求的解为
，c为任意常数．
解二 用配方法易得到f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，
即
，c为任意常数．解二 用配方法易得到f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，
即
【答案解析】