问答题
设曲面积分
其中S
+
为上半椭球面：
其中S
+
为上半椭球面：
问答题
求证：
其中Ω是上半椭球体；
其中Ω是上半椭球体；
【正确答案】正确答案：由题设S
+
的方程，J可简化成
要将曲面积分J化为三重积分，可用高斯公式．由于S
+
不是封闭曲面，故要添加辅助面
取法向量n向下，S
+
与S
1
+
所围的区域记为Ω，它的边界取外侧，于是在Ω上用高斯公式得
要将曲面积分J化为三重积分，可用高斯公式．由于S
+
不是封闭曲面，故要添加辅助面
取法向量n向下，S
+
与S
1
+
所围的区域记为Ω，它的边界取外侧，于是在Ω上用高斯公式得
【答案解析】
问答题
求曲面积分J．
【正确答案】正确答案：求曲面积分J转化为求上题中的三重积分．怎样计算这个三重积分：
因为Ω是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换．我们用先二(先对x，y积分)后一(后对z积分)的积分顺序求
由于z∈[0，c]，与z轴垂直的平面截Ω得区域D(z)为
又这个椭圆的两个半轴分别为
面积是
于是
可以用同样方法计算
但是，由坐标的轮换对称性，有J
1
=J
2
=J
3
．
因为Ω是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换．我们用先二(先对x，y积分)后一(后对z积分)的积分顺序求
由于z∈[0，c]，与z轴垂直的平面截Ω得区域D(z)为
又这个椭圆的两个半轴分别为
面积是
于是
可以用同样方法计算
但是，由坐标的轮换对称性，有J
1
=J
2
=J
3
．
【答案解析】