问答题
设x(k)为长度为N的有限长序列，其N点DFT为X(m)。现通过补零将x(k)的长度扩大L倍，成为长度为LN的序列y(k)，即
【正确答案】
【答案解析】解 y(k)的长度为LN，于是由DFT的定义有
考虑到当N≤k＜LN时，y(k)=0，且0≤k＜N时，y(k)=x(k)，故有
对于x(k)，由IDFT公式有
将式②代入式①，同时为了与式①中变量m相区别，将式②中变量m换成n，于是得到
交换式③中两个求和的顺序，可得
当m为L的整数倍时，不妨设m=i·L，i=0，1，2，…，N-1，则
易见若i≠n，则
，只有当i=n时，
，即当m为L的倍数时，
综上所述，y(k)的DFT为
考虑到当N≤k＜LN时，y(k)=0，且0≤k＜N时，y(k)=x(k)，故有
对于x(k)，由IDFT公式有
将式②代入式①，同时为了与式①中变量m相区别，将式②中变量m换成n，于是得到
交换式③中两个求和的顺序，可得
当m为L的整数倍时，不妨设m=i·L，i=0，1，2，…，N-1，则
易见若i≠n，则
，只有当i=n时，
，即当m为L的倍数时，
综上所述，y(k)的DFT为