解答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f'(x)＞0(0＜x＜1)，f(0)=0，证明：存在λ，μ∈(0，1)，使得λ+μ=1，有
【正确答案】
【答案解析】[证] 
于是f(x)f(1-x)=1，
令F(x)=f(x)f(1-x)，F(0)=F(1)=0，
由罗尔定理，存在λ∈(0，1)，使得F'(λ)=0，
即F'(λ)=f'(λ)f(1-λ)-f(λ)f'(1-λ)=0，
即f'(λ)f(μ)-f(λ)f'(μ)=0．又f'(x)＞0，f(x)↑，
∴f(x)＞f(0)=0(0＜x＜1)，f(λ)≠0，f(μ)≠0，
于是f(x)f(1-x)=1，
令F(x)=f(x)f(1-x)，F(0)=F(1)=0，
由罗尔定理，存在λ∈(0，1)，使得F'(λ)=0，
即F'(λ)=f'(λ)f(1-λ)-f(λ)f'(1-λ)=0，
即f'(λ)f(μ)-f(λ)f'(μ)=0．又f'(x)＞0，f(x)↑，
∴f(x)＞f(0)=0(0＜x＜1)，f(λ)≠0，f(μ)≠0，