解答题
23.设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3，若a是使A正定的正整数，用正交变换把二次型f(x1，x2，x3)化为标准型，并写出所用正交变换。
【正确答案】求二次型矩阵的特征值，有
＝(λ＋a－2)2(λ－2a－2)＝0，
得到A的特征值是λ1＝λ2＝2－a，λ3＝2a＋2，由于A正定，且a为正整数，故a＝1。因此
，
此时矩阵的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝4。
对于λ＝1，由E－A＝
，
得到属于λ＝1的特征向量为α1＝(﹣1，1，0)T，α2＝(﹣1，0，1)T。
对于λ＝4，由4E－A＝
，
得到属于λ＝4的特征向量为α3＝(1，1，1)T。
对α1，α2正交规范化得β1＝α1＝
，
β2＝
，
故可得到
，
令Q＝(γ1，γ2，γ3)＝
＝(λ＋a－2)2(λ－2a－2)＝0，
得到A的特征值是λ1＝λ2＝2－a，λ3＝2a＋2，由于A正定，且a为正整数，故a＝1。因此
，此时矩阵的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝4。
对于λ＝1，由E－A＝
，得到属于λ＝1的特征向量为α1＝(﹣1，1，0)T，α2＝(﹣1，0，1)T。
对于λ＝4，由4E－A＝
，得到属于λ＝4的特征向量为α3＝(1，1，1)T。
对α1，α2正交规范化得β1＝α1＝
，β2＝
，故可得到
，令Q＝(γ1，γ2，γ3)＝
【答案解析】