解答题
设A是各行元素和均为零的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα＝3β，Aβ＝3α。
问答题
21.证明矩阵A能相似于对角矩阵；
【正确答案】因为A的各行元素和为零，从而λ＝0为A的一个特征值，并且γ＝(1，1，1)T为A属于λ＝0的特征向量。
另一方面，又因为Aα＝3β，Aβ＝3α，所以
A(α＋β)＝3(α＋β)，A(α－β)＝－3(α－β)，
λ＝3和λ＝－3为A的两个特征值，并且α＋β和α－β为A属于λ＝3和λ＝－3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。
另一方面，又因为Aα＝3β，Aβ＝3α，所以
A(α＋β)＝3(α＋β)，A(α－β)＝－3(α－β)，
λ＝3和λ＝－3为A的两个特征值，并且α＋β和α－β为A属于λ＝3和λ＝－3的特征向量，可见A有三个不同的特征值，所以A能相似于对角矩阵。
【答案解析】
问答题
22.若α＝(0，－1，1)T，β＝(1，0，－1)T，求矩阵A。
【正确答案】A的三个特征向量为
γ＝(1，1，1)T，α＋β＝(1，－1，0)T，α－β＝(－1，－1，2)T，
令P＝(γ，α＋β，α－β)，Λ＝
，
则P－1AP＝Λ，所以A＝PΛP－1＝
γ＝(1，1，1)T，α＋β＝(1，－1，0)T，α－β＝(－1，－1，2)T，
令P＝(γ，α＋β，α－β)，Λ＝
，则P－1AP＝Λ，所以A＝PΛP－1＝
【答案解析】