解答题
14.设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又|f"(x)|≤M，证明：|f'(x)|≤
【正确答案】由泰勒公式得
f(0)=f(x)+f'(x)(0一x)+
(0一x)2，ξ∈(0,x)，
f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+
(1-x)2，η∈(x，1)，
两式相减得 f’(x)=
[f”(ξ)x2一f"(η)(1一x)2]，
取绝对值得 |f’(x)|≤
[x2+(1-x)2]，
因为x2≤x，(1一x)2≤1一x，所以x2+(1一x)2≤1，故|f’(x)|≤
f(0)=f(x)+f'(x)(0一x)+
(0一x)2，ξ∈(0,x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+
(1-x)2，η∈(x，1)，两式相减得 f’(x)=
[f”(ξ)x2一f"(η)(1一x)2]，取绝对值得 |f’(x)|≤
[x2+(1-x)2]，因为x2≤x，(1一x)2≤1一x，所以x2+(1一x)2≤1，故|f’(x)|≤
【答案解析】