结构推理
设α(·)是定义在[a，b]上的有界可测函数。乘法算子
(Tx)(t)=α(t)x(t)
在L2[a，b]中有可能是紧算子吗?
【正确答案】不妨设α(t)不对等于0，若T为紧算子，则必存在λ0≠0，使得集合E(t∈[a，b]:a(t)=λ0)的测度大于0。因为否则对一切
λ≠0， mE(t∈[a，b]：α(t)=λ)=0，
就可推出λ不是T的特征值，从而必属于正则集，故σ(T)={0}，T=0，矛盾。当
λ≠0， mE(t∈[a，b]:α(t)=λ)＞0，
λ0必是T的特征值，且T对应于λ0的特征向量空间是无穷维的，这与T为紧算子矛盾，故T不是紧算子
【答案解析】