解答题
[2015年] 设向量组α1，α2，α3是三维向量空间R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3．
问答题
28.证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基；
【正确答案】由题设有
[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]
因
[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]
因
【答案解析】
问答题
29.当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ．
【正确答案】设
，则P为从基α1，α2，α3到另一个基β1，β2，β3的过渡矩阵，即
[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]P．
设ξ在基α1，α2，α3下的坐标为(x1，x2，x3)，在基β1，β2，β3下的坐标为(y1，y2，y3)．由式得到
[y1，y2，y3]=[x1，x2，x3](P-1)T． ①
由题设[y1，y2，y3]=[x1，x2，x3]，则由式①得到
[x1，x2，x3]=[x1，x2，x3](P-1)T，
两边取转量得到
，即
令X=(x1，x2，x3)T，则PX=X，即(P—E)X=0．
下面解方程组②，为要其有非零解，必有
，即k=0．
这时方程组②化为
，则P为从基α1，α2，α3到另一个基β1，β2，β3的过渡矩阵，即[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]P．
设ξ在基α1，α2，α3下的坐标为(x1，x2，x3)，在基β1，β2，β3下的坐标为(y1，y2，y3)．由式得到
[y1，y2，y3]=[x1，x2，x3](P-1)T． ①
由题设[y1，y2，y3]=[x1，x2，x3]，则由式①得到
[x1，x2，x3]=[x1，x2，x3](P-1)T，
两边取转量得到
，即令X=(x1，x2，x3)T，则PX=X，即(P—E)X=0．
下面解方程组②，为要其有非零解，必有
，即k=0．这时方程组②化为
【答案解析】