问答题
设A
3×3
＝(α
1
，α
2
，α
3
)，方程组Ax＝β有通解kξ﹢η＝(1，2，－3)
T
﹢ (2，－1，1)
T
，其中k为任意常数．证明：
(I)方程组(α
1
，α
2
)x＝β有唯一解，并求该解；
(Ⅱ)方程组(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)x－β有无穷多解，并求其通解．
【正确答案】正确答案：由题设条件(α
1
，α
2
，α
3
)x＝β有通解k(1，2，－3)
T
﹢(2，－1，1)
T
，知 r(α
1
，α
2
，α
3
)＝r(α
1
，α
2
，α
3
，β)＝2， (*) α
1
﹢2α
2
－3α
3
＝0， (**) β＝(k﹢22)α
1
﹢(2k－1)α
2
﹢(－3k﹢1)α
3
． (***) (I)由(**)式得α
3
1(α
1
﹢2α
2
)，知α
1
，α
2
线性无关(若α
1
，α
2
线性相关，又α
3
＝
(α
1
﹢2α
2
)，得r(α
1
，α
2
，α
3
)＝1，这和(*)式矛盾)．由(*)式知α
1
，α
2
是向量组α
1
，α
2
，α
3
及α
1
，α
2
，α
3
，β的极大线性无关组，从而有r(α
1
1，α
2
)＝r(α
1
，α
2
，β)＝2，方程组(α
1
，α
2
)x＝β有唯一解． 由(***)式取α
3
的系数－3k﹢1＝0，即取
，即(α
1
，α
2
)x＝β的唯一解为
(Ⅱ)因r(α
1
，α
2
，α
3
)＝r(α
1
，α
2
，α
3
，β)＝r(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)＝r(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
，β)＝2，故方程组(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)x＝β有无穷多解，且其通解形式为k
1
ξ
1
﹢k
2
ξ
2
﹢η
*
，其中ξ
1
，ξ
2
为对应的齐次方程组的基础解系，η
*
为方程组的特解，k
1
，k
2
为任意常数． 由(**)式 α
1
﹢2α
2
－3α
3
＝(α
1
，α
2
，α
3
)
＝0． 得(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)
在(***)式中取k＝0，有 2α
1
－α
2
﹢α
3
＝(α
1
，α
2
，α
3
)
＝β， 则得(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)
观察得(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)
1(α
1
﹢2α
2
)，知α
1
，α
2
线性无关(若α
1
，α
2
线性相关，又α
3
＝
(α
1
﹢2α
2
)，得r(α
1
，α
2
，α
3
)＝1，这和(*)式矛盾)．由(*)式知α
1
，α
2
是向量组α
1
，α
2
，α
3
及α
1
，α
2
，α
3
，β的极大线性无关组，从而有r(α
1
1，α
2
)＝r(α
1
，α
2
，β)＝2，方程组(α
1
，α
2
)x＝β有唯一解． 由(***)式取α
3
的系数－3k﹢1＝0，即取
，即(α
1
，α
2
)x＝β的唯一解为
(Ⅱ)因r(α
1
，α
2
，α
3
)＝r(α
1
，α
2
，α
3
，β)＝r(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)＝r(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
，β)＝2，故方程组(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)x＝β有无穷多解，且其通解形式为k
1
ξ
1
﹢k
2
ξ
2
﹢η
*
，其中ξ
1
，ξ
2
为对应的齐次方程组的基础解系，η
*
为方程组的特解，k
1
，k
2
为任意常数． 由(**)式 α
1
﹢2α
2
－3α
3
＝(α
1
，α
2
，α
3
)
＝0． 得(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)
在(***)式中取k＝0，有 2α
1
－α
2
﹢α
3
＝(α
1
，α
2
，α
3
)
＝β， 则得(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)
观察得(α
1
﹢α
2
﹢α
3
﹢β，α
1
，α
2
，α
3
)
【答案解析】