解答题
13.
设X
1
，X
2
分别为A的属于不同特征值λ
1
，λ
2
的特征向量．证明：X
1
+X
2
不是A的特征向量．
【正确答案】
反证法
不妨设X
1
+X
2
是A的属于特征值λ的特征向量，则有A(X
1
+X
2
)=λ(X
1
+X
2
)，
因为AX
1
=λ
1
X
1
，AX
2
=λ
2
X
2
，所以(λ
1
一λ)X
1
+(λ
2
一λ)X
2
=0，
而X
1
，X
2
线性无关，于是λ
1
=λ
2
=λ，与已知矛盾，故X
1
+X
2
不是A的特征向量．
【答案解析】
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