设随机变量X的概率密度为f(χ)＝ae
－2｜χ｜
(－∞＜χ＜＋∞)，随机变量Y
1
＝｜X｜，Y
2
＝X
2
．
(Ⅰ)确定常数a的值；
(Ⅱ)讨论X与Y
i
(i＝1，2)的相关性与独立性．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)1＝∫
－∞
＋∞
f(χ)dχ＝a∫
－∞
＋∞
e
－2｜χ｜
dχ＝2a∫
0
＋∞
e
－2χ
dχ＝a
a＝1． (Ⅱ)EX＝∫
－∞
＋∞
χf(χ)dχ＝∫
－∞
＋∞
χe
－2｜χ｜
dχ＝0， EXY
1
＝EX｜X｜＝∫
－∞
＋∞
χ｜χ｜ee
－2｜χ｜
dχ＝0， cov(X，Y
1
)＝EXY
1
－EXEY
1
＝0． 从cov(X
1
，Y
1
)＝0可得X与Y
1
不相关． 对于任何正实数b：0＜b＜＋∞，有0＜P{X≤b}＜1，但是 P{X≤b，Y
1
≤b}＝P{X≤b，｜X｜≤b}＝P{｜X｜≤b}＝P{Y
1
≤b}， P{X≤b}P{Y
1
≤b}＜P{Y
1
≤b}． 由于当b＞0时，P{X≤b，Y
1
≤b}≠P{X≤b}P{Y
1
≤b}，因此X与Y
1
不独立．我们的结论是X与Y
1
不相关，但是它们不独立． 类似地有EXY
2
＝EXX
2
＝EX
3
＝0，cov(X，Y
2
)＝EXY
2
－EXEY
2
＝0． 因此，X与Y
2
亦不相关． 对任何实数c＞0，P{X≤c}＜1．但是当c＞1时，事件{X≤c}
a＝1． (Ⅱ)EX＝∫
－∞
＋∞
χf(χ)dχ＝∫
－∞
＋∞
χe
－2｜χ｜
dχ＝0， EXY
1
＝EX｜X｜＝∫
－∞
＋∞
χ｜χ｜ee
－2｜χ｜
dχ＝0， cov(X，Y
1
)＝EXY
1
－EXEY
1
＝0． 从cov(X
1
，Y
1
)＝0可得X与Y
1
不相关． 对于任何正实数b：0＜b＜＋∞，有0＜P{X≤b}＜1，但是 P{X≤b，Y
1
≤b}＝P{X≤b，｜X｜≤b}＝P{｜X｜≤b}＝P{Y
1
≤b}， P{X≤b}P{Y
1
≤b}＜P{Y
1
≤b}． 由于当b＞0时，P{X≤b，Y
1
≤b}≠P{X≤b}P{Y
1
≤b}，因此X与Y
1
不独立．我们的结论是X与Y
1
不相关，但是它们不独立． 类似地有EXY
2
＝EXX
2
＝EX
3
＝0，cov(X，Y
2
)＝EXY
2
－EXEY
2
＝0． 因此，X与Y
2
亦不相关． 对任何实数c＞0，P{X≤c}＜1．但是当c＞1时，事件{X≤c}
【答案解析】