解答题
27.求一组向量α1，α2，使之与α3=(1，1，1)T成为R3的正交基；并把α1，α2，α3化成R3的一个标准正交基．
【正确答案】依题意，设所求向量为x，于是(x，α3)=0．
即得方程组x1+x2+x3=0，解得方程组的基础解系ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-1，0，1)T，将ξ1，ξ2正交化得
则α1=(-1，1，0)T，α2=(-1/2，-1/2，1)T，α3=(1，1，1)T为R3的一个正交基．
将α1，α2，α3单位化，得
故e1，e2，e3为所求R3的一个标准正交基．
即得方程组x1+x2+x3=0，解得方程组的基础解系ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-1，0，1)T，将ξ1，ξ2正交化得
则α1=(-1，1，0)T，α2=(-1/2，-1/2，1)T，α3=(1，1，1)T为R3的一个正交基．
将α1，α2，α3单位化，得
故e1，e2，e3为所求R3的一个标准正交基．
【答案解析】本题考查向量空间的基、标准正交基的概念和正交基的化法．