问答题
设有二阶线性微分方程
(1一x
2
)
+y=2x
(Ⅰ)作自变量替换x=sint(—
+y=2x
(Ⅰ)作自变量替换x=sint(—
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)先求
(Ⅱ)题(Ⅰ)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ
2
+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齐次方程可设特解y
2
=Asint+Bcost，代入④得 一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost—Bsint=sint 比较系数得A=0，B=一1，即y
*
(t)=一cost．因此④的通解为 y=(c
1
+c
2
t)e
-t
一cost 原方程的通解为 y=(c
1
+c
2
arcsinx)e
-arcsins
一
常数． 其中t=arcsinx，cost=
(Ⅱ)题(Ⅰ)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ
2
+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齐次方程可设特解y
2
=Asint+Bcost，代入④得 一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost—Bsint=sint 比较系数得A=0，B=一1，即y
*
(t)=一cost．因此④的通解为 y=(c
1
+c
2
t)e
-t
一cost 原方程的通解为 y=(c
1
+c
2
arcsinx)e
-arcsins
一
常数． 其中t=arcsinx，cost=
【答案解析】