单选题
设f(x)为连续函数，且∫
0
x
tf(2x－t)dt=1／2arctanx
2
，f(1)=0，求∫
1
2
f(x)dx．
【正确答案】正确答案：欲求∫
1
2
f(x)出需知f(x)或f(x)的原函数．题设条件中f(x)出现在可变限积分的被积函数内，可变限的变元隐含在f(2x－t)中，应先变换，化为可直接求导的形式．令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．则 ∫
0
x
tf(2x－t)dt=－∫
2x
x
(2x－u)f(u)du=－2x∫
2x
x
f(u)du+∫
2x
x
uf(u)du， 即 －2x∫
2x
x
f(u)du+∫
2x
x
uf(u)du=1／2arctanx
2
． 将上式两端同时关于x求导，可得 －2∫
2x
x
f(u)du－2x[f(x)－2f(2x)]+xf(x)－2．2xf(2x)=
即 －2∫
2x
x
f(u)du－xf(x)=
即 －2∫
2x
x
f(u)du－xf(x)=
【答案解析】