问答题
选择常数λ取的值，使得向量A(x，y)=2xy(x
4
+y
2
)
λ
i—x
2
(x
4
+y
2
)
λ
j在如下区域D为某二元函数u(x，y)的梯度：(Ⅰ)D={x，y)｜y＞0}，并确定函数u(x，y)的表达式；(Ⅱ)D={(x，y)｜x
2
+y
2
＞0}．
【正确答案】正确答案：记A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)为某二元函数u的梯度(即du=Pdx+Qdy)的必要条件
定出参数λ．
=2x(x
4
+y
2
)
λ
+λ4xy
2
(x
4
+y
2
)
λ—1
，
=—2x(x
4
+y
2
)
λ
一λ4x
5
(x
2
+y
2
)
λ—1
4x(x
4
+y
2
)
λ
+4λx(x
4
+y
2
)
λ
=0(
x＞0)→λ=一1． (Ⅰ)由于D={(x，y)｜y＞0}是单连通，λ=一1是存在u(x，y)使du=Pdx+Qdy的充要条件，因此仅当λ=一1时存在u(x，y)使(P，Q)为u的梯度． 现求u(x，y)，使得du(x，y)=
． 凑微分法．
(Ⅱ)D={(x，y)｜x
2
+y
2
＞0｜是非单连通区域，
((x，y)∈D)不足以保证Pdx+Qdy存在原函数．我们再取环绕(0，0)的闭曲线C：x
4
+y
2
=1，逆时针方向，求出 ∫
C
Pdx+Qdy=∫
C
定出参数λ．
=2x(x
4
+y
2
)
λ
+λ4xy
2
(x
4
+y
2
)
λ—1
，
=—2x(x
4
+y
2
)
λ
一λ4x
5
(x
2
+y
2
)
λ—1
4x(x
4
+y
2
)
λ
+4λx(x
4
+y
2
)
λ
=0(
x＞0)→λ=一1． (Ⅰ)由于D={(x，y)｜y＞0}是单连通，λ=一1是存在u(x，y)使du=Pdx+Qdy的充要条件，因此仅当λ=一1时存在u(x，y)使(P，Q)为u的梯度． 现求u(x，y)，使得du(x，y)=
． 凑微分法．
(Ⅱ)D={(x，y)｜x
2
+y
2
＞0｜是非单连通区域，
((x，y)∈D)不足以保证Pdx+Qdy存在原函数．我们再取环绕(0，0)的闭曲线C：x
4
+y
2
=1，逆时针方向，求出 ∫
C
Pdx+Qdy=∫
C
【答案解析】