解答题
16.设f(x)在(0，+∞)内二阶可导，在[0，+∞)有连续的导数，且
>0(x>0)，求证：F(x)=
>0(x>0)，求证：F(x)=
【正确答案】由题设条件可求得
下证F"(x)>0(x>0)．由g(x)=x2f'(x)一2xf(x)+
，有
g'(x)=x2f"(x)+2xf'(x)－2f'(x)－2f(x)+2f(x)=x2f"(x)，
由于f"(x)>0(x>0)
g'(x)>0(x>0)．又g(x)在[0，+∞)连续
g(x)在[0，+∞)单调增加
g(x)>g(0)=0 (x>0)
下证F"(x)>0(x>0)．由g(x)=x2f'(x)一2xf(x)+
，有g'(x)=x2f"(x)+2xf'(x)－2f'(x)－2f(x)+2f(x)=x2f"(x)，
由于f"(x)>0(x>0)
g'(x)>0(x>0)．又g(x)在[0，+∞)连续g(x)在[0，+∞)单调增加g(x)>g(0)=0 (x>0)【答案解析】