问答题
已知函数y=y(x)(0≤x≤1)满足微分方程yy"=(y")
2
，且y(0)=1．已知曲线y=y(x)与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面区域D的面积为e-1，求D绕y轴旋转所得的旋转体体积．
【正确答案】
【答案解析】[解] 令y"=p(y)，则
，于是
分离变量得
两端积分得ln|p|=ln|y|+ln|C 1 |，
从而p=y"=C 1 y，
即
分离变量得
两端积分得ln|y|=C 1 x+ln|C 2 |，
即y=C 2 e C1x ．
由y(0)=1得C 2 =1，故y=e C1x ．
由题意，
，解得C
1
=1，因此
y=e x ．
故所求体积为
，于是
分离变量得
两端积分得ln|p|=ln|y|+ln|C 1 |，
从而p=y"=C 1 y，
即
分离变量得
两端积分得ln|y|=C 1 x+ln|C 2 |，
即y=C 2 e C1x ．
由y(0)=1得C 2 =1，故y=e C1x ．
由题意，
，解得C
1
=1，因此
y=e x ．
故所求体积为