解答题
18.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)＝
，其中k﹥1。证明：
存在ξ∈(0，1)使f'(ξ)＝
，其中k﹥1。证明：存在ξ∈(0，1)使f'(ξ)＝
【正确答案】令g(y)＝k∫0yxe1－xf(x)dx，则g(0)＝0，g(1/k)＝f(1)，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，1/k)，使得
，
故kf(1)＝kηe1－ηf(η)，即f(1)＝ηe1－ηf(η)。
再令φ(x)＝xe1－xf(x)，则φ(0)＝0，φ(1)＝f(1)，所以φ(1)＝f(1)＝φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)
(0，1)，使得φ'(ξ)＝0，即
，
所以f'(ξ)＝
，故kf(1)＝kηe1－ηf(η)，即f(1)＝ηe1－ηf(η)。
再令φ(x)＝xe1－xf(x)，则φ(0)＝0，φ(1)＝f(1)，所以φ(1)＝f(1)＝φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)
(0，1)，使得φ'(ξ)＝0，即，所以f'(ξ)＝
【答案解析】