【正确答案】作变量替换，u=x—t，得t=x一u，dt=一du，则
∫₀^xtf(x—t)dt=一∫₀^x(z一u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du，
所以原方程可化为
∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(u)du－∫₀^xuf(u)du=ax²．
上式两端对x求导得
f(x)+∫₀^xf(u)du+xf(x)一xf(x)=2ax，
即 f(x)+∫₀^xf(u)du=2ax，其中f(0)=0．
继续求导，有
f′(x)+f(x)=2a，
为一阶线性微分方程，其通解
f(x)=e^-∫dx(∫2ae^∫dxdx+C)=2a+Ce^-x，
再结合f(0)=0，得f′(x)=2a一2ae^-x．

【正确答案】f(x)在区间[0，1]上的平均值为
=∫₀¹(2a一2ae^-x)dx=2a(x+e^-x)∣₀¹=2ae^-1，
所以，2ae^-1=1，解得a=