【正确答案】设Y₁=R(F)在Y中是闭的。因Y是Banach空间，所以Y₁也是Banach空间。进而，F：X→Y₁是有界线性的且为双射。又X是Banach空间，所以由有界逆定理知F^-1是连续的。
   反过来，设F^-1 ：Y₁→X是有界线性映射，其中Y₁=R(F)。设y∈Y₁，则存在Y₁中的序列{y_n}使得y_n→y。设F^-1(y_n)=x_n，则
   ‖x_n-x_m‖=‖F^-1(y_n-y_m)‖≤‖F^-1‖ ‖y_n-y_m‖
   由于{y_n}在Y中收敛，所以{y_n}是柯西列，从而{x_n}是X中的柯西列。所以{x_n}在X中收敛。若x_n→x，则由F的连续性知F(x_n)→F(x)，即y_n→F(x)。所以y=F(x)∈Y₁。这就证明了Y₁在Y中是闭的。