【正确答案】(X，Y)的所有可能的取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．利用题设将二维随机变量(X，Y)的各对取值转化为随机事件A，B的运算来表示．注意到
P(AB)=P(A)P(B|A)=1／12，P(AB)=P(B)P(A|B)，
即P(B)=P(AB)／P(A|B)=1／6．
于是下面将与A，B有关的事件概率尽量向P(A)，P(B)，P(AB)这三个量上化，从而可简便求出其概率，即
P(X=1，Y=1)=P(AB)=1／12，
P(X=1，Y=0)==P(A)一P(AB)=1／6，
P(X=0，Y=1)==P(B)=P(AB)=1／12，
P(X=0，Y=0)==1一P(A∪B)=1一[P(A)+P(B)一P(AB)]=2／3，
或 P{X=0，Y=0}=1—1／12—1／6—1／12=2／3，
故(X，Y)的概率分布为

【正确答案】解一 用同一表格法求之．为此，将(X，Y)的概率分布改写下述形式：

由上表即得，随机变量，X，X²，Y，Y²，XY，X²+Y²的概率分布分别为

因而E(X)=1／4， E(X²)=1／4， E(Y)=1／6， E(Y²)=1／6， E(XY)=1／12．
D(X)=E(X²)－[E(X)]²=1／4－(1／4)²=3／16，
D(Y)=E(Y²)－[E(Y)]²=1／6－(1／6)²=5／36．
cov(X，Y)=](XY)一E(X)E(Y)=1／12=(1／4)(1／6)=1／24，

解二 由(1)中(X，Y)的联合分布表即表①知，X，Y分别服从参数为1／4，1／6的0-1分布．由命题3．3．1．3即得
E(X)=1／4，D(X)=(1／4)(1－1／4)=3／16，
E(Y)=1／6，D(Y)=(1／6)(1－1／6)=5／36， E(XY)=P(X=1，Y=1)=1／12．
于是 cov(X，Y)=E(XY)=E(X)E(Y)=1／24，

【正确答案】解一 由上述表格②即得X²+Y²的概率分布为

解二 Z的可能取值为0，1，2．
P(Z=0)=P(X²+Y²=0)=P(X=0，Y=0)=2／3，
P(Z=1)=P(X²+Y²=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=1／4，
P(Z=2)=P(X²+Y²=2)=P(X=1，Y=1)=1／12，
即Z的概率分布为