问答题
设f(x)在区间(一∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设
f(x)=2∫
0
x
f'(x—t)t
2
dt+sin x，
求f(x)．
【正确答案】正确答案：f(x)=2∫
0
x
f'(x-t)t
2
dt+sin x =一2∫
0
x
t
2
d[f(x—t)]+sin x =一2[t
2
f[(x一t)|
0
x
—2∫
0
x
tf(x一t)dt]+sin x =一2[x
2
f(0)-0-2∫
x
0
(x一u)f(u)(一du)]+sin x =-2x
2
f(0)+4x∫
0
x
f(u)du一4∫
0
x
uf(u)du+sin x， f'(x)=一4xf(0)+4∫
0
x
f(u)du+4xf(x)一4xf(x)+cosx =一4xf(0)+4∫
0
x
f(u)du+cos x， f"(x)=一4f(0)+4f(x)一sinx． 由上述表达式可见有f(0)=0，f'(0)=1．所以 f”(x)一4f(x)=一sinx． 解得 f(x)=C
1
e
2x
+C
2
e
-2x
+
由f(0)=0，f'(0)=1，得 C
1
+C
2
=0， 2C
1
一2C
2
+
所以
由f(0)=0，f'(0)=1，得 C
1
+C
2
=0， 2C
1
一2C
2
+
所以
【答案解析】