填空题
已知α
1
，α
2
，α
3
线性无关，若α
1
+2α
2
+α
3
，α
1
+aα
2
，3α
2
-aα
3
线性相关，则a= 1．
【正确答案】
【答案解析】3或-1
[解析] 因为
α 1 +2α 2 +α 3 ，α 1 +aα 2 ，3α 2 -aα 3
线性相关，故有不全为0的x 1 ，x 2 ，x 3 使
x 1 (α 1 +2α 2 +α 3 )+x 2 (α 1 +aα 2 )+x 3 (3α 2 -aα 3 )=0
即
(x 1 +x 2 )α +(2x 1 +ax 2 +3x )α 2 +(x 1 -αx 3 )α 3 =0
已知α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，故必有
因为x 1 ，x 2 ，x 3 不全为0，所以上述齐次方程组有非零解．系数行列式必为0，于是
α 1 +2α 2 +α 3 ，α 1 +aα 2 ，3α 2 -aα 3
线性相关，故有不全为0的x 1 ，x 2 ，x 3 使
x 1 (α 1 +2α 2 +α 3 )+x 2 (α 1 +aα 2 )+x 3 (3α 2 -aα 3 )=0
即
(x 1 +x 2 )α +(2x 1 +ax 2 +3x )α 2 +(x 1 -αx 3 )α 3 =0
已知α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，故必有
因为x 1 ，x 2 ，x 3 不全为0，所以上述齐次方程组有非零解．系数行列式必为0，于是