解答题
15.设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量a1=(-1，2，-1)T，a2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；
(Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)6，其中E为三阶单位矩阵．
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；
(Ⅲ)求A及(A-(3/2)E)6，其中E为三阶单位矩阵．
【正确答案】(Ⅰ)依题意，因为A=
所以3是矩阵A的一个特征值，a=(1，1，1)T是A属于3的特征向量，
又因为Aa1=0=0a1，Aa2=0=0a2，
所以a1，a2是矩阵A属于λ=0的特征向量，所以A的特征值是3、0、0，且λ=0的特征向量为
k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T(k1，k2是不全为0的常数)，
λ=3的特征向量为k=(1，1，1)T(k≠0为常数)．
(Ⅱ)由于a1，a2不正交，所以要做Schmidt正交化：β1=a1=(-1，2，-1)T，
所以3是矩阵A的一个特征值，a=(1，1，1)T是A属于3的特征向量，
又因为Aa1=0=0a1，Aa2=0=0a2，
所以a1，a2是矩阵A属于λ=0的特征向量，所以A的特征值是3、0、0，且λ=0的特征向量为
k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T(k1，k2是不全为0的常数)，
λ=3的特征向量为k=(1，1，1)T(k≠0为常数)．
(Ⅱ)由于a1，a2不正交，所以要做Schmidt正交化：β1=a1=(-1，2，-1)T，
【答案解析】