解答题
8.设f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续，试证明：
【正确答案】由泰勒公式
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x一x0)+
f"(ξ)(x—x0)2
≥f(x0)+f'(x0)(x—x0)，ξ介于x与x0之间．
以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分，其中暂设a＞0，于是有
∫0xf[u(t)]dt≥af(x0)+f'(x0)[∫0xu(t)dt—x0a]．
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x一x0)+
f"(ξ)(x—x0)2≥f(x0)+f'(x0)(x—x0)，ξ介于x与x0之间．
以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分，其中暂设a＞0，于是有
∫0xf[u(t)]dt≥af(x0)+f'(x0)[∫0xu(t)dt—x0a]．
【答案解析】由条件f"(x)＞0，想到将f(x)在某x0处展成带有拉格朗日余项的泰勒公式，然后丢弃f"(ξ)得到一个不等式以处理之．