问答题
设(X，ρ)是完备度量空间，T是X到自身的映射，在闭球B[x0，r]上有ρ(Tx，Ty)≤θρ(x，y)且ρ(x0，Tx0)＜(1-θ)r，其中0≤θ＜1．证明T在B[x0，r]上有唯一不动点．
【正确答案】[证明]因为B[x0，r]为完备度量空间(X，ρ)中闭子集，故B[x0，r]完备．下证T为从B[x0，r]到B[x0，r]的映射．对任意x∈B[x0，r]，有
ρ(Tx，x0)≤ρ(Tx，Tx0)+ρ(Tx0，x0)＜θρ(x，x0)+(1-θ)r
≤θr+(1-θ)r=r，
故Tx∈B[x0，r]．由ρ(Tx，Ty)≤θρ(x，y)及0≤θ＜1知是T压缩映射．根据压缩映射原理，T在B[x0，r]上存在唯一不动点．
【答案解析】