解答题
9.设二次型
,经过正交变换X=QY化为标准形
,经过正交变换X=QY化为标准形
【正确答案】
的转置矩阵即为其逆矩阵），于是A的特征值为1,1,4.
而∣λE-A∣=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2),所以有
λ3-（a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4),解得
a=2,b=1,当λ1=λ2=1时，由（E-A)X=0得ξ1=
,当λ3=4时，由（4E-A)X=0得
,显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为
的转置矩阵即为其逆矩阵），于是A的特征值为1,1,4.
而∣λE-A∣=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2),所以有
λ3-（a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4),解得
a=2,b=1,当λ1=λ2=1时，由（E-A)X=0得ξ1=
,当λ3=4时，由（4E-A)X=0得,显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为【答案解析】