综合题
24.求函数z＝x3＋8y3－6xy＋5的极值．
【正确答案】(1)令
，解这个方程组．第一个方程可变为x2＝2y，第二个方程可变为x＝4y2＝(2y)2．于是得到x＝(x2)2＝x4，进而变为x(x3－1)＝0．得到x1＝0，x2＝1，从而方程组的解为
。
得到两个驻点M1(0，0)和M2
．
求函数的二阶偏导数A＝zxx＝6x，B＝zxy＝－6，C＝zyy＝48y．
在点M1(0，0)处，A＝0，B＝－6，C＝0，因此△＝B2＝AC＝36＞0．则在点M1(0，0)处函数不取得极值．
在点M2
处，A＝6，B＝－6，C＝24，因此△＝B2－AC＝－108＜0．
则在点M2
处，函数取得极值．因A＞0，则
，解这个方程组．第一个方程可变为x2＝2y，第二个方程可变为x＝4y2＝(2y)2．于是得到x＝(x2)2＝x4，进而变为x(x3－1)＝0．得到x1＝0，x2＝1，从而方程组的解为。得到两个驻点M1(0，0)和M2
．求函数的二阶偏导数A＝zxx＝6x，B＝zxy＝－6，C＝zyy＝48y．
在点M1(0，0)处，A＝0，B＝－6，C＝0，因此△＝B2＝AC＝36＞0．则在点M1(0，0)处函数不取得极值．
在点M2
处，A＝6，B＝－6，C＝24，因此△＝B2－AC＝－108＜0．则在点M2
处，函数取得极值．因A＞0，则【答案解析】