问答题
设函数f(x)在[一2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f
2
(0)+[f'(0)]
2
=4．试证：在(一2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f”(ξ)=0．
【正确答案】正确答案：由拉格朗日中值定理有 f(0)一f(-2)=2f'(ξ
1
)，一2＜ξ
1
＜0， f(2)-f(0)=2f'(ξ
2
)，0＜ξ
2
＜2． 由|f(x)|≤1知|f'(ξ
1
)|=
令φ(x)=f
2
(x)+[f'(x)]
2
，则有φ(ξ
1
)≤2，φ(ξ
2
)≤2． 因为φ(x)在[ξ
1
，ξ
2
]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ
1
，ξ
2
]上的最大值在点ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)
令φ(x)=f
2
(x)+[f'(x)]
2
，则有φ(ξ
1
)≤2，φ(ξ
2
)≤2． 因为φ(x)在[ξ
1
，ξ
2
]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ
1
，ξ
2
]上的最大值在点ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)
【答案解析】