【正确答案】证明：顶面是由函数在定义域范围内的上曲面构成的，记为，用公式表示为 本影是由位于图像顶面下方，包括图像函数在内的所有的点构成的，记为,用公式表示为 图像本影的概念是灰度形态学的理论基础和本质核心，如果将图像的本影看做二值图像的“0”，本影以外的区域看做二值图像的“1”，则可以容易地将二值形态学的性质引申到灰度图像中。 证明：结构元素对信号的灰度腐蚀定义为 结构元素g对信号f的灰度膨胀定义为 顶面是由函数在定义域范围内的上曲面构成，记为,用公式表示为 本影是由图像顶面下方，包括图像函数在内的所有的点构成，记为,用公式表示为 对任意信号,用表示的图形，用公式表示为 对任意信号,其本影的顶面就是它的图形，即 这样，顶面算子相当于本影变换的逆算子，即 对于灰度腐蚀，有 也即，灰度腐蚀可以通过先取信号和结构的本影，对本影作二值腐蚀，然后，取结果的顶面而求得。 对于灰度膨胀，有 也即，灰度膨胀可以通过先取信号和结构的本影，对本影作二值腐蚀，然后，取结果的顶面而求得。 (1)灰度腐蚀运算的结合律，即证明 （灰度膨胀定义） （灰度腐蚀定义） （顶面和本影互逆） （灰度腐蚀定义） （灰度腐蚀定义） （顶面和本影互逆） 由二值形态学腐蚀运算的结合性可得命题成立。 (2)灰度膨胀运算的结合律，即证明 （灰度膨胀定义） （灰度膨胀定义） （顶面和本影互逆） （灰度膨胀定义） （灰度膨胀定义） （顶面和本影互逆） 由二值形态学膨胀运算的结合性可得命题成立。 (3)灰度腐蚀运算的平移不变性，即证明 （灰度腐蚀定义） （二值形态学腐蚀运算的平移不变性） （灰度腐蚀定义） (4)灰度膨胀运算的平移不变性，即证明 （灰度膨胀定义） （二值形态学膨胀运算的平移不变性） （灰度膨胀定义）