【正确答案】因为x∫₀¹f(tx)dt=∫₀^xf(u)du，所以f'(x)+3∫₀^xf'(t)dt+2x∫₀¹(tx)dt+e^-x=0可化为f'(x)+3∫₀^xf'(t)dt+2∫₀^xf(t)dt+e^-x=0，
两边对x求导得f''(x)+3f'(x)+2f(x)=e^-x，
由λ²+3λ+2=0得λ₁=-1，λ₂=-2，
则方程f''(x)+3f'(x)+2f(x)=0的通解为C₁e^-x+C₂e^-2x．
令f''(x)+3f'(x)+2f(x)=e^-x的一个特解为y₀=axe^-x，代入得a=1，
则原方程的通解为f(x)=C₁e^-x+C₂e^-2x+xe^-x．
由f(0)=1，f'(0)=-1得C₁=0，C₂=1，故原方程的解为f(x)=e^-2x+xe^-x．