解答题
[2010年] 设
问答题
8.求λ，a；
【正确答案】解一 因AX=b有两个不同的解，则AX=0有非零解，因而AX=b有无穷多组解，故秩
=秩(A)＜3．于是|A|=0，由
知λ=1或λ=－1．但当λ=1时，秩(A)=1≠秩(
)=2，因而λ=－1．当λ=－1时，有
因由秩(A)=秩
=2＜3，得到a+2=0，即a=－2．因此λ=－1，a=-2．
解二
当λ=1时，
方程组无解．
当λ=－1时，
由于秩(A)=秩
=秩(A)＜3．于是|A|=0，由知λ=1或λ=－1．但当λ=1时，秩(A)=1≠秩(
)=2，因而λ=－1．当λ=－1时，有因由秩(A)=秩
=2＜3，得到a+2=0，即a=－2．因此λ=－1，a=-2．解二
当λ=1时，
方程组无解．当λ=－1时，
由于秩(A)=秩
【答案解析】
问答题
9.求方程组AX=b的通解．
【正确答案】解一 因λ=1时，秩(A)≠秩
．此时AX=b无解．将λ=一1，a=一2代入AX=b中，对其增广矩阵
进行初等行变换，得到
由基础解系的简便求法得AX=0的基础解系只含一个解向量α=[1，0，1]T，AX=b的一个特解为β=[3／2，一1／2，0]T．因而AX=b的通解为
X=cα+β=c[1，0，1]T+[3／2，一1／2，0]T， c为任意常数．
解二 由
知，原方程组的同解方程组为
令x3=0，得原方程组的一特解为η=[3／2，一1／2，0]T．
方程组对应的齐次方程组的等价方程组为
．此时AX=b无解．将λ=一1，a=一2代入AX=b中，对其增广矩阵进行初等行变换，得到由基础解系的简便求法得AX=0的基础解系只含一个解向量α=[1，0，1]T，AX=b的一个特解为β=[3／2，一1／2，0]T．因而AX=b的通解为
X=cα+β=c[1，0，1]T+[3／2，一1／2，0]T， c为任意常数．
解二 由
知，原方程组的同解方程组为令x3=0，得原方程组的一特解为η=[3／2，一1／2，0]T．
方程组对应的齐次方程组的等价方程组为
【答案解析】