解答题
14.已知函数f(x)满足方程
－2f(x)＝0。及
＋f(x)＝2ex．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求曲线y＝f(x2)
－2f(x)＝0。及＋f(x)＝2ex．(1)求f(x)的表达式；
(2)求曲线y＝f(x2)
【正确答案】(1)f(x)＝ex；
(2)(0，0)
(2)(0，0)
【答案解析】(1)特征方程为r2＋r－2＝0，所以特征根r1＝1，r2＝－2，则齐次微分方程
的通解为f(x)＝C1ex＋C2e－2x．再由
+f(x)＝2ex得2C1ex－C2e－2x＝2ex，可知C1＝1，C2＝0．故f(x)＝ex．
(2)曲线方程为
，则
出．令
得x＝0．为了说明x＝0是
唯一的解，则需讨论
在x＞0和x＜0时的符号．当x＞0 时，2x＞0，2(1＋2x2)
dt＞0，可知
；当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)
，可知
．所以x＝0是
唯一的解．同时，由上述讨论可知曲线y＝f(x2)
在x＝0左右两边的凹凸性相反，所以(0，0)是曲线y＝f(x2)
唯一的拐点．
的通解为f(x)＝C1ex＋C2e－2x．再由+f(x)＝2ex得2C1ex－C2e－2x＝2ex，可知C1＝1，C2＝0．故f(x)＝ex．(2)曲线方程为
，则出．令得x＝0．为了说明x＝0是唯一的解，则需讨论在x＞0和x＜0时的符号．当x＞0 时，2x＞0，2(1＋2x2)dt＞0，可知；当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)，可知．所以x＝0是唯一的解．同时，由上述讨论可知曲线y＝f(x2)在x＝0左右两边的凹凸性相反，所以(0，0)是曲线y＝f(x2)唯一的拐点．