解答题
已知
试证明
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【正确答案】
【答案解析】[解] 由于幂级数
在[0，1]上收敛，所以f(x)，f(1-x)在[0，1]上都连续，且在(0，1)内可导．记F(x)=f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)，则F(x)在(0，1)内可导，且
由于对x∈(0，1)有
将上式中的x换为1-x，得
将②③代入①得F'(x)=0，从而F(x)≡C，即
f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)≡C． ④
所以，对④的两边令x→0+得
代入④得
在[0，1]上收敛，所以f(x)，f(1-x)在[0，1]上都连续，且在(0，1)内可导．记F(x)=f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)，则F(x)在(0，1)内可导，且由于对x∈(0，1)有
将上式中的x换为1-x，得
将②③代入①得F'(x)=0，从而F(x)≡C，即
f(x)+f(1-x)+lnxln(1-x)≡C． ④
所以，对④的两边令x→0+得
代入④得